Ejercicios de Rectas Resueltos

1. Una recta es paralela a la que tiene por ecuación r ≡ 5x + 8y - 12 = 0, y 
dista 6 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?



2. Hallar la distancia entre r ≡ 3 x - 4 y + 4 = 0 y 
s ≡ 9 x - 12 y - 4 = 0.

3. Escribir la ecuación general de la recta que:
1 Pasa por A (1,5) y tiene como vector director  igual (-2, 1).


2 Pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.

Teoría Ejericios de rectas

1. Ángulo que forman dos rectas

2. Distancia de un punto a una recta

3. Ecuación de la mediatriz

4. Ecuaciones de las bisectrices

Posiciones relativas de dos rectas

1. Secantes

2. Paralelas

3. Coincidentes

Rectas Paralelas y Perpendicualares

1. Rectas paralelas

2. Rectas perpendiculares

Ecuaciones de las Rectas

Ecuación vectorial de la recta:

Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuación continua de la recta:

Pendiente:

Ecuación punto-pendiente de la recta

Ecuación general de la recta

Ecuación explícita de la recta

Ecuación canónica o segmentaria

Distancias

Casos:

1. Dos puntos:

1. Perpendicular por P1 y Q1.
2. Llevamos la cota de cada uno o la diferencia de cotas a las perpendiculares.
3. Unimos los puntos obtenidos.

2. Punto y Plano

1. Recta perpendicular al plano que pase por P.
2. Contenemos r en un plano auxiliar de canto.
3. Hallamos el punto de intersección.
4. Hallamos la distancia de I a P.

3. Dos rectas paralelas

1. Plano perpendicular a las rectas.
2. Punto de intersección de cada recta con el plano.
3. Distancia entre los dos puntos de intersección.

4. Dos planos paralelos

1. Recta perpendicular a los planos.
2. Puntos de intersección entre la recta y ambos planos.
3. Distancia entre ambos puntos de intersección.

5. Punto y Recta

1. Recta auxiliar perpendicular a la recta dada por P.
2. Hallamos el plano dado por las dos rectas,
3. Hallamos la intersección de la recta r dada y el plano hallado.
4. Distancia entre P y el punto de intersección.

Como podemos ver lo que hacemos es intentar siempre volver al primer caso de punto-punto.

A continuación veremos los casos particulares. A pesar de que lo mejor es entenderlos, tendremos que aprenderlos de memoria para los exámenes.

Perpendicularidad

Perpendicularidad es muy fácil ya que es prácticamente igual que paralelismo pero cambian los conceptos básicos:

1. Entre dos rectas no se ve directamente
2. Entre dos planos no se ve.
3. Entre recta y plano se ve.

Esto quiere decir que tendremos que ayudarnos de rectas auxiliares perpendiculares a las rectas dadas para hallas el plano perpendicular.

Aquí los apuntes:

Paralelismo

Lo más importante a tener en cuenta en paralelismo es que:

• Entre dos rectas se ve directamente
• Entre dos planos se ve
• Entre recta y plano no se ve

Casos:

1. Nos piden plano B paralelo a plano dado A por punto P.

Sabemos que hay visibilidad entre planos paralelos por lo que:

1. Hacemos recta por P paralela al plano A (nos ayudamos de rectas auxiliares).
2. Buscamos la traza de la recta.
3. Definimos el plano

2. Nos piden plano paralelo a las rectas dadas r y s que pasen por el punto P

1. Trasladamos las rectas r y s a P
2. Hallamos sus trazas.
3. Definimos el plano que forman.

3. Nos piden plano paralelo a la recta r que pase por los puntos dados P y Q

1. Trasladamos la recta r por P y po Q.
2. Hallamos las trazas de cada recta.
3. Hallamos el plano que forman.

4. Nos piden recta paralela a dos planos A y B que pase por P

1. Hallamos la recta de intersección de los dos planos.
2. Trasladamos la recta de intersección a P.

Les dejo los apuntes de paralelismo

Movimiento Armónico Simple

El movimiento armónico simple (m.a.s.), también denominado movimiento vibratorio armónico simple (m.v.a.s.), es un movimiento periódico, y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición, y que queda descrito en función del tiempo por una función senoidal (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s.

Ley de Hooke:

La ley de Hooke establece que el alargamiento de un muelle es directamente proporcional al módulo de la fuerza que se le aplique, siempre y cuando no se deforme permanentemente dicho muelle.

F=k⋅(x−x0)

donde:

• F es el módulo de la fuerza que se aplica sobre el muelle.
• k es la constante elástica del muelle, que relaciona fuerza y alargamiento. Cuanto mayor es su valor más trabajo costará estirar el muelle. Depende del muelle, de tal forma que cada uno tendrá la suya propia.
• x0 es la longitud del muelle sin aplicar la fuerza.
• x es la longitud del muelle con la fuerza aplicada.

Período (T): tiempo que tardan en repetirse las magnitudes cinemáticas. Cuanto más corto el período antes regresará a la posición establecida.

Frecuencia: Número de veces que una misma situación cinemática se repite por segundo. Se mide en Hz.

Frecuencia angular (w): indica el número de veces que el ciclo completo se repite en 2pi segundos.

Momento Lineal

Es la magnitud que mide la resistencia de un cuerpo a cambiar de velocidad. También mide su capacidad para comunicar movimiento a otros.

P= m. v

Nueva formulación del segundo principio de la dinámica a partir del momento lineal:

F= m. a =m. vf-v0/ tf-t0  = mvf-mv0 /t = Pf-P0/ t

Para que se cumpla el principio de conservación de P no debe haber fuerzas externas al sistema.
El impulso mecánico: recibido por un cuerpo es el producto de la fuerza recibida (suponiendo que la F es constente) por el tiempo que actúa.
Choque elástico: se conserva el momento lineal y la energía elástica. mv1 + mv2= mv2´ + mv1´
Choque inelástico: se conserva el momento lineal pero no se conserva la energía cinética. mv1 + mv2 = (m1+m2)v